MathematischeGesellschaft Von Descartes zu einem elementaren und natürlichen Zugang zur Differentialrechnung und Analysis |  |
Speaker:Prof. Dr. Michael Range, State University of New York at Albany and Park City
Organizer:Fakultät für Mathematik und Informatik
Details:
Ausgehend von der wohlbekannten quadratischen Gleichung, führen wir elementar Tangenten mittels Descartes’ Doppelpunktmethode ein. Dieser Zugang kann leicht— vor allem ohne Grenzwerte— auf alle algebraischen Funktionen verallgemeinert werden, einschließlich aller standard Differentiationsregeln.
Natürlich scheitert diese Methode bei nicht-algebraischen Funktionen, z. B. bei der Exponentialfunktion. Aber eine einfache Abschätzung führt von der zentralen Produktdarstellung ganz natürlich zu dem Begriff der Stetigkeit und zu der Einsicht, daß die algebraisch definierte Ableitung auch durch Approximation ermittelt werden kann. Anwendung dieser Methode auf die Exponentialfunktion zeigt deutlich, daß neue und tieferliegende Begriffe wie Grenzwerte und Vollständigkeit eingeführt werden müssen, d. h., hier beginnt die Analysis. Man kommt dann direkt auf den klassischen Differenzierbarkeitsbegriff, in einer Formulierung welche schon vor 70 Jahren von Constantin Carathéodory eingeführt worden ist, und dessen Vorteile besser bekannt werden sollten. Dieser neue Zugang sollte insbesondere für Lehrer, Studenten, und Lehramtskandidaten, sowie auch für Hochschullehrer welche Infinitesimalrechnung lehren, von Interesse sein.
Natürlich scheitert diese Methode bei nicht-algebraischen Funktionen, z. B. bei der Exponentialfunktion. Aber eine einfache Abschätzung führt von der zentralen Produktdarstellung ganz natürlich zu dem Begriff der Stetigkeit und zu der Einsicht, daß die algebraisch definierte Ableitung auch durch Approximation ermittelt werden kann. Anwendung dieser Methode auf die Exponentialfunktion zeigt deutlich, daß neue und tieferliegende Begriffe wie Grenzwerte und Vollständigkeit eingeführt werden müssen, d. h., hier beginnt die Analysis. Man kommt dann direkt auf den klassischen Differenzierbarkeitsbegriff, in einer Formulierung welche schon vor 70 Jahren von Constantin Carathéodory eingeführt worden ist, und dessen Vorteile besser bekannt werden sollten. Dieser neue Zugang sollte insbesondere für Lehrer, Studenten, und Lehramtskandidaten, sowie auch für Hochschullehrer welche Infinitesimalrechnung lehren, von Interesse sein.
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Type:Colloquium
Language:German
Category:Research
Host:Prof. Dr. Ralf Meyer
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