MathematischeGesellschaft Raum und Zeit in Physik und Chemie: die kontinuierlichen Noetherschen Symmetrien im Lichte der Statistischen Mechanik |  |  |
Speaker:Prof. Thomas Zeuch, Universität Göttingen
Location:Mathematisches Institut, Bunsenstr 3-5Online über Zoom: https://uni-goettingen.zoom.us/j/91336854872Gras Geo Map
Organizer:Mathematisches Institut
Details:
Mit ihrer bahnbrechenden Arbeit „Invariante Variationsprobleme“ von 1918 hat Emmy Noether die Programmatik der Theoretischen Physik bis heute geprägt. In der chemischen Kinetik und Nicht-Gleichgewichts-Thermodynamik spielen Reaktionszeiten und Zeitschrittverfahren eine wichtige Rolle, die neue Perspektiven auf grundlegende physikalische Fragestellungen und Axiome eröffnen
1) Die quantenmechanische Welt ist endlich und diskontinuierlich. Jeder chemische Elementarschritt bricht die kontinuierlichen Symmetrien von Raum und Zeit, Reaktionszeiten und Wahrscheinlichkeiten sind nur statistisch beschreibbar, Raum und Zeit tauschen ihre Rolle beim mikroskopischen Phasenübergang flüssig-fest. Dies steht im Widerspruch zur Annahme einer symmetrischen Zeit in der nicht-relativistischen Quantenmechanik. Zur Lösung dieses Problems schlagen wir vor, die makroskopische Homogenität von Zeit und Raum über Differenzen und mit Bezug zum Energieerhaltungssatz der Thermodynamik zu formulieren. Davon ausgehend können wir die Heisenbergsche Orts-Impuls-Kopplung als das mikroskopische Analogon zur Raum- homogenität identifizieren: Δx·Δp≥ħ/2, eine Auflösungsbegrenzung. Die mikroskopische Energieerhaltung identifizieren wir mit der Eyring-Gleichung der statistischen kinetischen Theorie: (ΔE(z.B.chemisch)) / Δt ≤ E(chemisch) · (E(aktiv) / h). Der Eyringsche Frequenzfaktor (E(aktiv)/h) wirkt wie eine mikroskopische Energieflussbegrenzung, d.h. alle Übergänge mit Energieübertagung sind zeitlich begrenzt. Diese Hypothese erklärt den statistischen Charakter der beobachtbaren Zeitskalen transienter chemischer Quantensysteme.
2) In der Lagrange-Mechanik führt die Einführung generalisierter Koordinaten über Nebenbedingungen zur Beschreibung stationärer Stellen mit dem Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren (Stoff von „Diff 2“). Differentialgeometrisch wird der Vektorraum des Definitionsbereichs in den Bewegungsraum und den orthogonalen „Orientierungsraum“ zerlegt. Ist der Gradient der Lagrange-Funktion Element des Orientierungsraums, ist lokal die notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle erfüllt. Diese stationäre Analyse der Struktur des Funktionsraums lässt sich dynamisieren. Die orthogonale Zerlegung in Bewegungsrichtung (Geschwindigkeitsvektor) und Orientierung im Raum (Winkel in lokalen Polarkoordinaten) kann für jede Bahn von Körpern in Kraftfeldern vorgenommen werden: Für kleine Zeitschritte werden beschleunigende und richtungsändernde Komponenten in Näherung linear separabel. Anstelle von Steigung/Gradient erhalten wir im 3d Raum einen Dreiervektor, mit zwei Winkelgeschwindigkeiten (Richtungsänderungsraten) und der Summe aus Geschwindigkeit und Beschleunigung in Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Für das Kepplersche Zweikörperproblem ist unmittelbar einsichtig, dass Impulserhaltung und Drehimpulserhaltung den Grenzfällen verschwindender Richtungsänderung und Geschwindigkeitsänderung entsprechen. Eine Bahn ist die Aufsummierung der durch Zeitschritte extrapolierten Dreiervektoren und sie wird für unendlich kleine Zeitschritte stationär. Dieselbe geometrische und kinematische Struktur liegt den lokalen Maxwell-Gleichungen für die elektromagnetische Kopplung zugrunde, die wiederum den Ausgangspunkt der quantenfeldtheoretischen Anwendung des Noether-Theorems darstellen.
1) Die quantenmechanische Welt ist endlich und diskontinuierlich. Jeder chemische Elementarschritt bricht die kontinuierlichen Symmetrien von Raum und Zeit, Reaktionszeiten und Wahrscheinlichkeiten sind nur statistisch beschreibbar, Raum und Zeit tauschen ihre Rolle beim mikroskopischen Phasenübergang flüssig-fest. Dies steht im Widerspruch zur Annahme einer symmetrischen Zeit in der nicht-relativistischen Quantenmechanik. Zur Lösung dieses Problems schlagen wir vor, die makroskopische Homogenität von Zeit und Raum über Differenzen und mit Bezug zum Energieerhaltungssatz der Thermodynamik zu formulieren. Davon ausgehend können wir die Heisenbergsche Orts-Impuls-Kopplung als das mikroskopische Analogon zur Raum- homogenität identifizieren: Δx·Δp≥ħ/2, eine Auflösungsbegrenzung. Die mikroskopische Energieerhaltung identifizieren wir mit der Eyring-Gleichung der statistischen kinetischen Theorie: (ΔE(z.B.chemisch)) / Δt ≤ E(chemisch) · (E(aktiv) / h). Der Eyringsche Frequenzfaktor (E(aktiv)/h) wirkt wie eine mikroskopische Energieflussbegrenzung, d.h. alle Übergänge mit Energieübertagung sind zeitlich begrenzt. Diese Hypothese erklärt den statistischen Charakter der beobachtbaren Zeitskalen transienter chemischer Quantensysteme.
2) In der Lagrange-Mechanik führt die Einführung generalisierter Koordinaten über Nebenbedingungen zur Beschreibung stationärer Stellen mit dem Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren (Stoff von „Diff 2“). Differentialgeometrisch wird der Vektorraum des Definitionsbereichs in den Bewegungsraum und den orthogonalen „Orientierungsraum“ zerlegt. Ist der Gradient der Lagrange-Funktion Element des Orientierungsraums, ist lokal die notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle erfüllt. Diese stationäre Analyse der Struktur des Funktionsraums lässt sich dynamisieren. Die orthogonale Zerlegung in Bewegungsrichtung (Geschwindigkeitsvektor) und Orientierung im Raum (Winkel in lokalen Polarkoordinaten) kann für jede Bahn von Körpern in Kraftfeldern vorgenommen werden: Für kleine Zeitschritte werden beschleunigende und richtungsändernde Komponenten in Näherung linear separabel. Anstelle von Steigung/Gradient erhalten wir im 3d Raum einen Dreiervektor, mit zwei Winkelgeschwindigkeiten (Richtungsänderungsraten) und der Summe aus Geschwindigkeit und Beschleunigung in Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Für das Kepplersche Zweikörperproblem ist unmittelbar einsichtig, dass Impulserhaltung und Drehimpulserhaltung den Grenzfällen verschwindender Richtungsänderung und Geschwindigkeitsänderung entsprechen. Eine Bahn ist die Aufsummierung der durch Zeitschritte extrapolierten Dreiervektoren und sie wird für unendlich kleine Zeitschritte stationär. Dieselbe geometrische und kinematische Struktur liegt den lokalen Maxwell-Gleichungen für die elektromagnetische Kopplung zugrunde, die wiederum den Ausgangspunkt der quantenfeldtheoretischen Anwendung des Noether-Theorems darstellen.
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